可以。這五項統計量都在描述資料，但它們回答的問題不同：

• 平均數、中位數：資料大致集中在哪裡？
• 標準差、變異數、四分位距：資料分散到什麼程度？
• 最小值、最大值：資料涵蓋的範圍有多大？

以下用一組資料貫穿說明。假設調查8家藥局，每日處方箋張數為：

$$ 2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9 $$

---

一、平均數

平均數是所有數值加總後，除以資料筆數：

$$ \bar{x}=\frac{\sum x_i}{n} $$

這組資料的平均數為：

$$ \bar{x} =\frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8} =\frac{40}{8} =5 $$

所以，這8家藥局平均每天有5張處方箋。

平均數的真實意義

平均數可以理解成資料的「平衡點」。如果把每一家藥局超過平均數的部分，分給低於平均數的藥局，最後每一家都會變成5張。

相對於平均數的差距如下：

原始數值	與平均數5的差距
2	−3
4	−1
4	−1
4	−1
5	0
5	0
7	＋2
9	＋4

所有差距相加一定等於0：

$$ -3-1-1-1+0+0+2+4=0 $$

平均數的缺點

平均數容易受到極端值影響。

例如，五家藥局的月租為：

$$ 30,000,\ 32,000,\ 35,000,\ 38,000,\ 200,000 $$

平均租金為：

$$ 67,000 $$

但五家藥局中有四家的租金低於38,000元。平均數67,000元并不能很好地代表一般店面的典型租金，因為它被200,000元的極端值拉高了。

因此，平均數通常要搭配中位數及分布一起解讀。

---

二、中位數

中位數是將資料由小到大排列後，位於正中央的數值。

如果資料筆數是奇數，中位數就是中間那一個值；如果資料筆數是偶數，中位數通常是中間兩個數值的平均。

原資料共有8筆：

$$ 2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9 $$

中間是第4筆與第5筆：

$$ 4,\ 5 $$

因此中位數為：

$$ \frac{4+5}{2}=4.5 $$

中位數的真實意義

中位數把資料分成上下兩半：

• 約一半的觀察值低於或等於中位數。
• 約一半的觀察值高於或等於中位數。

它描述的是資料排序後的中央位置，而不是把數值加總後重新平均分配。

中位數的優點

中位數不容易被極端值影響。

例如：

$$ 30,000,\ 32,000,\ 35,000,\ 38,000,\ 200,000 $$

其中位數為35,000元。即使最後一家店的租金由200,000元增加到500,000元，中位數仍然是35,000元。

所以，面對租金、收入、房價、營業額等容易右偏且可能出現極端值的資料，中位數往往比平均數更能代表「典型情況」。

平均數與中位數如何選擇？

• 分布大致對稱、沒有嚴重離群值：可使用平均數。
• 分布明顯偏斜或存在極端值：中位數通常更穩健。
• 最完整的做法：同時查看平均數、中位數及資料分布。

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三、變異數

變異數用來衡量資料相對於平均數的分散程度。

直觀地說，它是在回答：

每一筆資料與平均數之間的距離，整體而言有多大？

第一步：計算每個數值與平均數的差距

這組資料的平均數是5：

原始數值 (x_i)	與平均數的差距 (x_i-\bar{x})
2	−3
4	−1
4	−1
4	−1
5	0
5	0
7	2
9	4

但是這些差距直接相加等於0，無法表示資料分散程度。

第二步：把每個差距平方

$$ (-3)^2=9,\quad (-1)^2=1,\quad 2^2=4,\quad 4^2=16 $$

原始數值	差距	差距平方
2	−3	9
4	−1	1
4	−1	1
4	−1	1
5	0	0
5	0	0
7	2	4
9	4	16
合計	0	32

平方有兩個作用：

1. 消除正負差距互相抵銷的問題。
2. 讓距離平均數較遠的觀察值受到較大的權重。

母體變異數

如果這8家藥局就是研究所關心的完整母體，母體變異數為：

$$ \sigma^2=\frac{\sum(x_i-\mu)^2}{N} $$

代入資料：

$$ \sigma^2=\frac{32}{8}=4 $$

所以母體變異數為4。

變異數的真實意義

變異數就是：

各觀察值與平均數之「平方距離」的平均。

這裡最重要的是「平方距離」。變異數不是一般距離的平均，也不能直接說這些藥局平均與平均值相差4張。

因為原始單位是「張」，平方後的變異數單位變成：

$$ \text{張}^2 $$

「平方張數」在現實中很難直觀解釋。因此，變異數非常適合數學運算及建立統計模型，但通常不適合直接向一般讀者描述資料分散程度。

這也是我們需要標準差的主要原因。

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四、標準差

標準差是變異數開平方根：

$$ \sigma=\sqrt{\sigma^2} $$

上述資料的母體變異數是4，所以標準差為：

$$ \sigma=\sqrt{4}=2 $$

原始資料的單位是「張」，標準差的單位也是「張」。

標準差的真實意義

標準差可以較直觀地理解為：

資料與平均數之間的典型距離。

這組資料的平均數是5，標準差是2，表示各家藥局每日處方箋數量與平均數5張的差距，典型幅度大約是2張。

但這是一種直觀解釋，不代表每一家藥局都剛好距離平均數2張。原始資料實際與平均數的距離是：

$$ 3,\ 1,\ 1,\ 1,\ 0,\ 0,\ 2,\ 4 $$

這些距離並不都是2。

更精確地說，標準差是：

各觀察值與平均數之平方距離的平均，再取平方根。

因此，標準差又可以稱為「均方根偏差」：

$$ \sigma= \sqrt{ \frac{\sum(x_i-\mu)^2}{N} } $$

為什麼不直接計算絕對距離的平均？

如果把每個差距取絕對值，再計算平均，會得到「平均絕對偏差」。這也是合理的離散指標。

不過，統計學常使用平方差，原因包括：

• 平方差具有良好的數學性質。
• 可以對較大的偏離給予較強懲罰。
• 能與常態分布、迴歸分析、ANOVA等方法自然連結。
• 平方差容易進行微分與模型最佳化。

因此，變異數和標準差成為許多統計方法的核心。

標準差大或小代表什麼？

假設兩個地區的藥局平均每日處方箋都是50張。

甲地區：

$$ 48,\ 49,\ 50,\ 51,\ 52 $$

乙地區：

$$ 10,\ 30,\ 50,\ 70,\ 90 $$

兩組平均數都是50，但乙地區的標準差明顯較大。

這表示：

• 甲地區的藥局表現比較集中、彼此相近。
• 乙地區的藥局差異較大，有些很低、有些很高。

所以，平均數相同不代表資料分布相同。標準差提供了平均數無法呈現的「個體差異」資訊。

標準差不是什麼？

標準差不是：

• 測量錯誤。
• 抽樣誤差。
• 平均數的誤差。
• 百分比。
• 每一筆資料與平均數的實際平均距離。
• 資料一定落在某個範圍內的保證。

例如「平均年齡40歲，標準差8歲」，不表示每個人的年齡都介於32至48歲。它只表示資料相對於平均數的典型分散幅度約為8歲。

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五、母體變異數與樣本變異數

前面的計算把8家藥局視為完整母體，所以除以 (N)。

但論文研究通常只取得母體中的一部分樣本。此時，樣本變異數通常寫成：

$$ s^2=\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n-1} $$

本例的離均差平方和為32，樣本數為8，因此：

$$ s^2=\frac{32}{8-1} =\frac{32}{7} \approx4.57 $$

樣本標準差為：

$$ s=\sqrt{4.57}\approx2.14 $$

因此，同一組資料可能得到：

• 視為完整母體：變異數 (=4)，標準差 (=2)。
• 視為母體樣本：變異數 (\approx4.57)，標準差 (\approx2.14)。

為什麼樣本變異數除以 (n-1)？

因為樣本平均數是由同一組樣本估計出來的。離均差受到一項限制：

$$ \sum(x_i-\bar{x})=0 $$

只要知道前 (n-1) 個差距，最後一個差距就被決定了。因此，真正能自由變動的資訊只有 (n-1) 個，稱為 (n-1) 個自由度。

更重要的是，如果直接除以 (n)，樣本通常會低估母體變異程度。除以 (n-1) 的修正稱為 Bessel校正，可以讓樣本變異數成為母體變異數的不偏估計量。

這裡要注意：

• 樣本變異數 (s^2) 是母體變異數 (\sigma^2) 的不偏估計。
• 樣本標準差 (s) 本身並不是完全不偏的估計量。

一般統計軟體在計算樣本資料的標準差時，通常採用 (n-1)。

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六、四分位數與四分位距

將資料從小到大排列後，可以用四分位數將資料大致分成四個部分。

• 第一四分位數 (Q_1)：約25%的資料位於它以下。
• 第二四分位數 (Q_2)：中位數，約50%的資料位於它以下。
• 第三四分位數 (Q_3)：約75%的資料位於它以下。

四分位距為：

$$ IQR=Q_3-Q_1 $$

它代表中間50%資料所涵蓋的範圍。

以原始資料為例：

$$ 2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9 $$

若使用「上下兩半各自取中位數」的方法：

下半部為：

$$ 2,\ 4,\ 4,\ 4 $$

所以：

$$ Q_1=\frac{4+4}{2}=4 $$

上半部為：

$$ 5,\ 5,\ 7,\ 9 $$

所以：

$$ Q_3=\frac{5+7}{2}=6 $$

因此：

$$ IQR=6-4=2 $$

四分位距的真實意義

四分位距表示中間50%的資料分散範圍。

本例中，中間50%的每日處方箋數大致分布在4至6張之間，範圍寬度為2張。

四分位距不太受到極端值影響，因此特別適合描述偏斜資料或含有離群值的資料。

例如：

$$ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 100 $$

即使最大值由100變成1,000，中間位置附近的資料沒有改變，四分位距通常也不會像全距或標準差那樣劇烈改變。

四分位數為什麼有時不一樣？

不同統計軟體可能使用不同的百分位數計算方法，尤其在樣本很小時，算出的 (Q_1) 與 (Q_3) 可能略有差異。

這不一定是計算錯誤，而可能是演算法定義不同。因此，正式研究應：

• 使用同一套軟體與計算方法。
• 記錄軟體版本及分析設定。
• 不要手算一種方法後，直接拿來與另一套軟體比較。

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七、最小值與最大值

最小值是資料中最低的觀察值，最大值是最高的觀察值。

原始資料為：

$$ 2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9 $$

因此：

$$ \min=2,\qquad \max=9 $$

全距為：

$$ \text{Range}=\max-\min=9-2=7 $$

最小值與最大值能告訴我們什麼？

它們可以幫助研究者快速了解：

• 資料涵蓋的範圍。
• 是否出現不可能的數值。
• 是否可能存在極端值。
• 資料輸入或編碼是否有錯誤。

例如：

• Likert量表應介於1至5分，卻出現55，可能是輸入錯誤。
• 年齡資料出現−3歲，顯然不合理。
• 每月租金出現0元，可能是真的免租，也可能是遺漏值被錯誤編碼成0。

因此，最小值與最大值不只是描述統計，也是一種重要的資料品質檢查。

最小值與最大值的限制

最小值和最大值完全由兩筆資料決定，對極端值非常敏感。

例如：

$$ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14 $$

全距為：

$$ 14-10=4 $$

如果最大值14被改成100，全距就變成：

$$ 100-10=90 $$

雖然其他四筆資料完全沒有改變，全距卻從4增加至90。因此，不能只使用最小值、最大值或全距描述資料分散程度。

---

八、標準差與四分位距如何選擇？

兩者都描述資料分散程度，但基礎不同：

指標	依據	是否容易受極端值影響	通常搭配
標準差	每筆資料與平均數的平方距離	是	平均數
四分位距	中間50%資料的位置	否	中位數
全距	最大值與最小值	非常容易	最小值、最大值

一般原則是：

• 資料大致對稱、沒有嚴重離群值：報告平均數與標準差。
• 資料明顯偏斜或有離群值：報告中位數與四分位距。
• 想呈現完整觀察範圍：另外報告最小值與最大值。

不能只因為資料「沒有通過常態性檢定」，就機械式地全部改報中位數。還應查看直方圖、箱形圖、Q–Q圖、樣本數、偏態程度及後續分析目的。

---

九、標準差與常態分布的關係

如果資料近似常態分布，平均數與標準差可以進一步描述資料落點：

• 約68%的資料位於平均數正負1個標準差內。
• 約95%的資料位於平均數正負2個標準差內。
• 約99.7%的資料位於平均數正負3個標準差內。

假設藥師年齡近似常態分布：

$$ 平均數=40歲,\qquad 標準差=5歲 $$

便可大致推測：

• 約68%介於35至45歲。
• 約95%介於30至50歲。
• 約99.7%介於25至55歲。

但這些比例只有在資料近似常態分布時才適用。資料偏斜或具有多個高峰時，不能直接套用。

標準差本身仍然可以計算，但「平均數正負兩個標準差包含約95%資料」未必成立。

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十、一張表掌握五個指標

統計量	回答的問題	優點	主要限制
平均數	資料的平衡點在哪裡？	使用全部數值，適合後續統計分析	容易受極端值影響
中位數	排序後的中央位置在哪裡？	不易受極端值影響	沒有充分使用每個數值的距離資訊
變異數	平均平方距離有多大？	是許多統計模型的數學基礎	單位被平方，難以直接解釋
標準差	資料與平均數的典型距離多大？	與原始資料單位相同	容易受離群值影響
四分位距	中間50%的資料範圍多寬？	對偏態與離群值較穩健	不呈現兩端資料的變異
最小值、最大值	實際觀察範圍到哪裡？	直觀，也能協助檢查錯誤	完全受兩端數值影響

最重要的理解是：

平均數告訴我們資料的中心；標準差告訴我們資料通常離這個中心多遠；變異數則是這些距離平方後的平均，是標準差背後的數學基礎。

在論文中，較完整的寫法可以是：

受訪藥師的平均年齡為40.2歲，標準差為8.3歲，中位數為39.0歲，四分位距為12.0歲，年齡範圍為25至68歲。

但是，不能只列出數字。還應查看平均數與中位數是否差距明顯、標準差是否過大，以及最小值、最大值是否合理，才能真正理解資料的分布情況。

前面的說明只講到「常態分布」，但沒有真正說明「常態性檢定怎麼做，以及為什麼不能只看 p 值」。這一段應該補上，而且對後面的 t 檢定、ANOVA、迴歸分析非常重要。

常態性檢定是什麼？

常態性檢定是用來評估資料是否明顯偏離常態分布的統計檢定。

常見方法包括：

• Shapiro–Wilk檢定
• Kolmogorov–Smirnov檢定
• Anderson–Darling檢定
• 圖形判斷：直方圖與Q–Q圖

其中，Shapiro–Wilk檢定是常見且通常較推薦的方法。

它的假設為：

$$ H_0：資料來自常態分布 $$

$$ H_1：資料不是來自常態分布 $$

因此：

• (p < .05)：拒絕虛無假設，表示資料有統計證據顯示偏離常態。
• (p \geq .05)：無法拒絕虛無假設，表示尚未發現明顯偏離常態的證據。

但要特別注意：

(p \geq .05) 不等於證明資料符合常態分布。

它只能表示目前的樣本沒有提供足夠證據否定常態性。

---

為什麼不能只看常態性檢定的 p 值？

常態性檢定對樣本數非常敏感。

小樣本的問題

樣本很小時，檢定力不足。即使資料明顯偏斜，常態性檢定也可能得到：

$$ p>.05 $$

這不一定表示資料真的近似常態，而可能是樣本太少，檢定無法發現問題。

例如只有15位受訪者時，即使直方圖看起來有些偏斜，Shapiro–Wilk檢定仍可能不顯著。

大樣本的問題

樣本很大時，常態性檢定會非常敏感。即使資料只有輕微偏離常態，仍可能得到：

$$ p<.05 $$

例如有2,000筆資料時，分布雖然視覺上接近鐘形，只因存在些微偏態，檢定也可能顯著。

但這種輕微偏離未必會嚴重影響t檢定、ANOVA或迴歸分析。

因此，不能使用以下機械式規則：

Shapiro–Wilk檢定顯著，所以資料不能分析。

這種結論通常過度簡化。

---

常態性應該如何判斷？

較合理的方式是同時使用「統計檢定」與「圖形檢查」。

1. 直方圖

直方圖可以觀察資料是否：

• 大致對稱
• 呈單峰分布
• 明顯左偏或右偏
• 存在多個高峰
• 出現離群值

但直方圖會受到組距設定影響。同一組資料使用不同組距，外觀可能不同，因此不能只看一張直方圖就作結論。

2. Q–Q圖

Q–Q圖會比較實際資料分位數與理論常態分布分位數。

判讀原則：

• 資料點大致沿對角線排列：分布接近常態。
• 兩端明顯偏離：可能有厚尾、薄尾或離群值。
• 整體呈彎曲形狀：可能存在偏態。
• 少數點遠離線段：可能存在離群值。

Q–Q圖不是要求每一點都完全在線上。實際樣本一定會有些波動，應關注明顯且有系統性的偏離。

3. 偏態與峰度

偏態反映分布是否左右不對稱：

• 正偏態：右側尾巴較長，例如收入、租金。
• 負偏態：左側尾巴較長，例如非常簡單的考試成績。
• 接近0：分布較為對稱。

峰度反映分布尾端及極端值特性。不同軟體可能報告一般峰度或超額峰度，解讀前應先確認軟體定義。

不能只靠「偏態與峰度必須介於某個固定範圍」判斷常態性。不同文獻提出的門檻不一致，而且資料是否足以進行分析，還與樣本數及方法穩健性有關。

4. 常態性檢定

Shapiro–Wilk檢定可以作為輔助證據，但不應成為唯一判準。

完整判斷可以包含：

• Shapiro–Wilk檢定
• 直方圖
• Q–Q圖
• 偏態與峰度
• 離群值
• 樣本數
• 後續統計方法對常態偏離的敏感程度

---

到底是哪個變項需要符合常態分布？

這是最容易被誤解的地方。

不是所有統計方法都要求「所有原始變項符合常態分布」。不同方法所要求的對象不同。

t檢定

獨立樣本t檢定關心的是：

依變項在各組中的分布是否存在嚴重偏離。

例如比較都市與鄉村藥局的營業額，應分別觀察都市組與鄉村組的營業額分布，而不是把兩組混在一起做一次常態性檢定。

成對樣本t檢定關心的則是：

每位受試者前後差值是否近似常態。

它不要求前測與後測各自都符合常態分布。

ANOVA

ANOVA的常態性假設主要針對：

各組誤差或模型殘差是否近似常態。

並不是要求自變項符合常態分布。自變項通常本來就是組別，不可能形成常態分布。

線性迴歸

線性迴歸通常關心的是：

在模型設定下，誤差項或殘差是否近似常態。

它不要求：

• 每個自變項都符合常態分布
• 依變項本身一定完全常態
• 類別控制變項符合常態

例如「店面租金」可能呈右偏，但這不代表不能放進線性迴歸。真正需要檢查的是模型形式、殘差、同質變異、線性關係及高影響值。

此外，殘差常態性主要影響小樣本下的信賴區間與顯著性檢定，並不是普通最小平方法估計迴歸係數的必要條件。

卡方檢定與邏輯斯迴歸

通常不要求原始資料符合常態分布：

• 卡方檢定分析的是類別次數。
• 邏輯斯迴歸的依變項是二元結果。

因此，不能在進行所有統計方法之前，一律先做常態性檢定。

---

資料不符合常態分布，應該怎麼辦？

發現資料偏離常態後，不應立即改用無母數方法。應先判斷偏離的原因與嚴重程度。

第一步：檢查資料錯誤

先確認是否存在：

• 輸入錯誤
• 單位錯誤
• 遺漏值被編碼為0
• 不可能的極端數值
• 重複資料

如果是資料錯誤，應回到原始資料修正，而不是使用統計方法掩蓋問題。

第二步：判斷離群值是否真實

離群值可能是：

• 輸入錯誤
• 測量錯誤
• 真實但少見的觀察值
• 代表不同群體的個案

不能只因離群值使常態性檢定顯著就將它刪除。刪除必須有明確、事前或可辯護的資料品質理由。

第三步：考慮方法是否具有穩健性

在樣本適當、各組樣本數相近，且沒有嚴重離群值時，t檢定與ANOVA對輕度常態偏離通常具有一定穩健性。

但這不代表可以完全忽略分布。若出現嚴重偏態、小樣本、組間樣本數非常不均或極端值，影響就可能較大。

第四步：選擇合適處理方式

可能的方法包括：

• 報告中位數與四分位距
• 使用Welch t檢定或Welch ANOVA
• 使用穩健標準誤
• 使用Bootstrap信賴區間
• 進行資料轉換，例如對數轉換
• 使用無母數方法
• 改用符合資料分布的模型

例如，藥局數量屬於計數資料，與其為了符合常態而硬做轉換，有時使用Poisson迴歸或負二項迴歸更符合資料產生機制。

---

無母數方法不等於完全沒有假設

常見誤解是：

資料不符合常態，所以改用無母數方法，便不需要任何假設。

實際上，無母數方法仍有自己的條件。

例如：

• Mann–Whitney U檢定要求觀察值獨立。
• 如果要把Mann–Whitney U解釋為中位數差異，通常還需要兩組分布形狀相近。
• Wilcoxon符號等級檢定對差值分布也有相關要求。
• 各方法仍須考慮測量尺度、抽樣方式與資料結構。

因此，「無母數」不是完全沒有假設，而是對母體分布形式的要求較少。

---

論文中可以怎麼寫？

不建議只寫：

經Shapiro–Wilk檢定，所有變項均達常態分布。

這句話有兩個問題：

1. (p>.05)不能證明資料「達到」常態分布。
2. 未說明檢查的是原始變項、分組資料還是模型殘差。

較合理的寫法是：

本研究以Q–Q圖、直方圖及Shapiro–Wilk檢定評估模型殘差的常態性。雖然Shapiro–Wilk檢定達顯著水準，但Q–Q圖僅顯示尾端輕微偏離，未發現嚴重離群值。考量樣本數及分析方法的穩健性，仍採用原定分析，並以Bootstrap信賴區間進行敏感度檢查。

如果資料沒有明顯問題，也可以寫：

Q–Q圖顯示各組資料大致沿理論常態線分布，未見嚴重偏態或極端離群值；Shapiro–Wilk檢定亦未提供明顯偏離常態分布的證據。

---

最重要的結論

常態性檢定不是一個「通過／不通過」的資格考試。

正確的判斷邏輯是：

先確認統計方法要求哪一部分近似常態，再結合圖形、檢定、離群值、樣本數與方法穩健性作整體判斷。

尤其要記住：

• (p<.05)不代表資料完全不能分析。
• (p\geq.05)不代表已經證明資料符合常態。
• 大樣本容易檢出沒有實務影響的微小偏離。
• 小樣本可能無法檢出真正存在的偏離。
• 迴歸通常檢查殘差，不是要求所有變項常態。
• 不符合常態不代表一定要改用無母數方法。
• 常態性判斷不能只看一個p值。

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